Méthodes aléatoires en algèbre linéaire numérique appliquées à l'assimilation de données (Randomized numerical linear algebra methods with application to data assimilation.) Scotto di perrotolo, Alexandre 2022-08-26 Institut Supérieur de l'Aéronautique et de l'Espace

Directeur(s) de thèse:  Vasseur, Xavier; Diouane, Youssef Laboratoire :  Département d’Ingénierie des Systèmes Complexes -DISC Ecole doctorale :  Mathématiques, Informatique et Télécommunications de Toulouse -MITT Classification : Mathématiques

Accès :  Texte intégral Mots-clés :  Méthodes aléatoires, Moindres carrés non-Linéaires, Approximation de rang faible, Préconditionnements à mémoire limitée, Assimilation de données Résumé : Les méthodes aléatoires pour le calcul approché de décomposition aux valeur singulières/valeurs propres ont suscité beaucoup d’intérêt au cours des dernières décennies. Ces méthodes se sont avérées performantes, efficaces en termes de coût de calcul et particulièrement bien adaptées aux problèmes de grande taille. À cet égard, des recherches récentes ont proposé des applications de cesméthodes en assimilation de données, où la taille des problèmes est prohibitive pour un grand nombre d'approches classiques. Dans cette thèse, nous proposons trois contributions interconnectées aux méthodes aléatoires pour l'approximation de rang faible, l'extraction d’information spectrale et le préconditionnement en assimilation de données variationnelle.Premièrement, nous proposons une analyse générale de l'erreur d'approximation de rang faible aléatoire en norme de Frobenius et en norme spectrale. Cette généralisation étend les possibilités d'analyse à un plus grand nombre de méthodes aléatoires en autorisant des matrices de covariance générales et un vecteur de moyenne non nulle pour la matrice gaussienne d'échantillonnage. La particularisation de nos bornes à la méthode dite de Randomized Singular Value Decomposition (RSVD) montre que nous améliorons les bornes d'erreur de référence proposées par Halko, Martinsson et Tropp (2011).Ensuite, nous présentons des algorithmes aléatoires pour la résolution de problèmes aux valeurs propres spécifiques qui apparaissent notamment en assimilation de données. Les méthodes proposées sont polyvalentes et généralisent les contributions de Saibaba, Lee et Kitanidis (2016) et Daužickaité et al. (2021). Nous fournissons ensuite une analyse théorique de nos méthodes qui éclaire sur la sensibilité de l’erreur au nombre d'itérations de sous-espace, au nombre d'échantillons aléatoires et à la matrice de covariance pour la matrice gaussienne d'échantillonnage. Des illustrations numériques sur un problème d'assimilation de données confirment le potentiel de nos algorithmes.Enfin, nous proposons une classe de préconditionnement à mémoire limitée aléatoire dédiée à l'assimilation de données variationnelle. Nous proposons de tels préconditionnements pour deux méthodes de Krylov en particulier: une approche dite inverse-free dans l'espace primal introduite par Guröl (2013) et une méthode d'espace dual proposée par Gratton et Tshimanga (2009). La dimension réduite de l'espace dual rend cette dernière approche plus intéressante à la fois en termes de coût de calcul et de stockage. Les préconditionnements aléatoires proposés sont basés sur des expressions adaptées identifiées par Gürol (2013) pour lesquelles les calculs coûteux d’information spectrale exacte est remplacée par des approximations obtenues avec une procédure aléatoire. Des illustrations sur un problème d'assimilation de données variationnel quadridimensionnel de référence démontrent le potentiel de nos préconditionnements aléatoires, ouvrant ainsi des perspectives intéressantes. Résumé (anglais) : Randomized methods for computing approximate singular value/eigenvalue decompositions have gained a lot of attention during the past decades. These methods have proven to perform well, are computationally efficient, and are well suited for large scale applications. In this regard, recent researches have proposed successful applications of randomized algorithms in data assimilation, where the huge size of the problems is prohibitive for a large number of standard approaches. In this thesis, we propose three interconnected contributions in randomized methods for low-rank approximation, extraction of eigenpairs, and preconditioning within variational data assimilation.First, we propose a general error analysis of randomized low-rank approximation in Frobenius and spectral norms. This generalization extends the possibilities of analysis to a larger class of randomized methods by allowing general covariance matrices and non-zero mean for the Gaussian sample matrix. Particularization of our bounds to the Randomized Singular Value Decomposition (RSVD) shows that we improve the reference error bounds due to Halko, Martinsson and Tropp (2011).Then, we develop randomized algorithms to address specific eigenvalue problems that naturally arise in data assimilation. The proposed methods are versatile, and generalize the contributions from Saibaba, Lee and Kitanidis (2016) and Daužickaitė et al. (2021). We then provide a theoretical analysis of the methods, which gives insights regarding the number of subspace iterations, number of random samples, and optimal covariance matrix of the Gaussian sample matrix. Numerical illustrations on a data assimilation test problem confirm the potential of our algorithms.Finally, we propose a class of randomized spectral limited memory preconditioners for variational data assimilation. We provide such preconditioners for two given Krylov subspace methods: an inverse-free approach in the primal space introduced by Guröl (2013) and a dual space method proposed by Gratton and Tshimanga (2009). The reduced dimension of the dual space makes this latter approach computationally efficient both in terms of cost and storage.Our randomized spectral limited memory preconditioners are based on appropriate expressions identified by Gürol (2013) where we replace expensive computations of exact eigenpairs by approximations obtained with a randomized procedure. Illustrations on a benchmark four-dimensional variational data assimilation problem prove that our randomized preconditioners perform well, opening interesting perspectives. Langue : Anglais

Exporter au format XML